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एक वास्तविक संख्या \(M\) का वर्ग करने पर मान \(N\) प्राप्त होता है। \(M + N\) का न्यूनतम मान क्या होगा?

यदि \( \alpha \) और \( \beta \) समीकरण \( x+a+b=\frac{a b x}{a b+a x+b x} \) के मूल हैं, तो \( (\alpha \beta+\alpha+\beta) \) किसके बराबर है ?

\( p \) का न्यूनतम मान क्या है, जिसके लिए \( \frac{1}{532900}+\frac{\mathrm{p}^{2}}{266450}+\frac{\mathrm{p}^{4}}{523900} \) एक पूर्णांक हो?

\(N\) सबसे छोटा 5-अंकीय संख्या है जो \(2, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, \ldots, 2^{n}\) से विभाजित करने पर शेषफल 1 छोड़ती है। \(n\) का मान क्या है?

सभी 3-अंकीय संख्याओं का योग क्या होगा जो 50 से विभाजित करने पर 5 शेषफल देती हैं?

यदि \( 64, 69, 72, 75, x \) का औसत 62 और 76 के बीच (62 और 76 को छोड़कर) आता है, तो \( x \) के कितने संभावित पूर्णांक मान हो सकते हैं?

मान लीजिए \( x, y, z \) चर हैं ऐसे कि \(x+y+z=k\), जहाँ \(k\) एक स्थिरांक है। यदि \((x+z-y)\times(x-z+y)\) \(yz\) के समानुपाती है, तो \((y+z-x)\) किसके समानुपाती होगा:

मान लीजिए कि \( p \) वह शेषफल है जब \( 7^{84} \) को 342 से विभाजित किया जाता है और \( q \) वह शेषफल है जब \( 7^{84} \) को 344 से विभाजित किया जाता है। तो \( (p - q) \) किसके बराबर है?

मान लीजिए एक 2-अंकीय संख्या \(N\) है। मान लें कि \(P\), उस संख्या के अंकों का गुणनफल है। यदि \(P\) को \(N\) के दहाई अंक के वर्ग में जोड़ा जाए तो हमें 84 प्राप्त होता है। यदि \(P\) को \(N\) के इकाई अंक के वर्ग में जोड़ा जाए तो हमें 60 प्राप्त होता है। तो \(P+N\) का मान क्या होगा?

100 L का एक मिश्रण मिट्टी का तेल (kerosene) और तारपीन का तेल (turpentine oil) को \( 3:2 \) के अनुपात में रखता है। न्यूनतम कितनी मात्रा (लीटर में, पूर्ण संख्या) मिट्टी का तेल मिश्रण में मिलाना चाहिए ताकि प्राप्त मिश्रण में \(20\%\) मिट्टी का तेल हो?

एक लैम्प को एक ऊर्ध्वाधर खंभे पर रखा गया है। जमीन से लैम्प के शीर्ष की ऊँचाई \( \frac{5 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~m} \) है। खंभे के आधार से उन दो सन्निकट दीवारों की लंबवत दूरियाँ, जो आपस में समकोण पर मिलती हैं, क्रमशः \(0.7 \,\mathrm{m}\) और \(2.4 \,\mathrm{m}\) हैं। जमीन पर दीवारों के कोने बिंदु से लैम्प के शीर्ष की दूरी क्या होगी?

C \(20 \,\text{cm}\) त्रिज्या वाले एक वृत्त का केंद्र है। AB \(32 \,\text{cm}\) लंबाई की एक जीवा है। E, AB पर एक बिंदु है ऐसा कि \(\mathrm{CE}=13 \,\text{cm}\) हो। तो \(\mathrm{AE} \times \mathrm{EB}\) का मान कितना होगा?

कटोरे का अंदरूनी हिस्सा एक गोले का भाग है। जब कटोरे में पानी \( d \) गहराई तक डाला जाता है, तो पानी की सतह \( 2d \) त्रिज्या वाले वृत्त का रूप ले लेती है। गोले की त्रिज्या क्या है?

एक त्रिभुज \(\mathrm{ABC}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=4 \mathrm{~cm}\) तथा \(\mathrm{AC}=3 \mathrm{~cm}\) में, कोण A की समद्विभाजक BC को D पर और कोण B की समद्विभाजक AD को E पर मिलती है। \(\mathrm{AE}:\mathrm{ED}\) का अनुपात क्या होगा?

त्रिभुज \(ABC\) में, कोण \(A\) का समद्विभाजक \(BC\) को \(D\) पर प्रतिच्छेद करता है। यदि \(AB + AC = 10 \,\text{cm}\) तथा \(BD:DC = 3:1\), तो \(AC\) की लंबाई क्या होगी?

एक त्रिभुज \( \mathrm{ABC} \) में, \( \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=7 \cdot 1 \,\mathrm{cm} \), \( \mathrm{BC}+\mathrm{CA}=12 \cdot 1 \,\mathrm{cm} \) और \( \mathrm{CA}+\mathrm{AB}=7 \cdot 2 \,\mathrm{cm} \) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

समांतर चतुर्भुज की सन्निकट भुजाएँ 10 सेमी और 8 सेमी हैं तथा उनके बीच का कोण \( 150^{\circ} \) है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होगा?

त्रिभुज \(ABC\) के कोण \(A\) और \(C\) के समद्विभाजकों द्वारा निर्मित कोण का मान \(130^{\circ}\) है। कोण \(B\) का मान क्या है?

\(\log_{10} 2000 + \log_{10} 400 + 4 \log_{10} 25 + 5 \log_{10} 20\) के बराबर क्या है?

यदि \( \frac{\log_{10}(100001-4^{x})}{5-x}=1 \), तो \( x \) किसके बराबर है?

यदि \( 2 \sin^{4} \alpha + 2 \cos^{4} \alpha - 1 = 0 \), जहाँ \( 0 \leq \alpha < \pi/2 \), तो \( \sin 2\alpha + \cos 2\alpha \) किसके बराबर है?

निम्नलिखित पर विचार करें : I. \(1-\sin^{6} \alpha=\cos^{2} \alpha(\cos^{4} \alpha-3\cos^{2} \alpha+3)\) II. \(\cos^{8} \alpha-\sin^{8} \alpha=2\sin^{2} \alpha(1-\cos^{4} \alpha+\sin^{2} \alpha\cos^{2} \alpha)\) उपरोक्त में से कौन-सा/कौन-से सर्वसमिका (identities) हैं?

यदि \( p=\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta} \) और \( q=\operatorname{cosec} \theta \), तो \( p^{2}-2 p q \) किसके बराबर है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
I. ( \( \operatorname{cosec} \alpha - \sec \alpha \) ) प्रथम चतुर्थांश में हमेशा धनात्मक होता है।
II. ( \( \tan \alpha - \cot \alpha \) ) प्रथम चतुर्थांश में हमेशा ऋणात्मक होता है।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?

एक मीनार बिंदु A पर, जो मीनार के पाद के समान स्तर पर है, \(60^{\circ}\) का कोण उत्पन्न करती है। B बिंदु A के ठीक ऊपर है और \(AB = h\) है। B से मीनार के पाद की ओर देखा गया अवनमन कोण \(30^{\circ}\) है। मीनार की ऊँचाई क्या है?

\( \frac{\sin \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cos \theta}{1-\tan \theta}(\theta \neq \pi / 4) \) इसके बराबर क्या है?

त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत्त की एक चाप की लंबाई \( \pi \,\mathrm{cm} \) है। उस चाप द्वारा केंद्र पर निर्मित कोण का मान क्या है?

यदि \( \cot^{2} \theta - 3\sqrt{3}\cot\theta + 6 = 0 \), जहाँ \( \frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2} \), तो \( \sin\theta + \cos2\theta \) का मान क्या है?

निम्नलिखित समीकरणों में से कौन-सा/से संभव है/हैं? I. \( \sin^{2} \theta = \frac{(x+y)^{2}}{4xy} \), जहाँ \(x, y\) असमान धनात्मक वास्तविक राशियाँ हैं। II. \( \sin \theta + \cos \theta = x + \frac{1}{x} \), जहाँ \(x\) एक धनात्मक वास्तविक राशि है। नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके सही उत्तर चुनिए:

यदि \( m^{2}(\sin \theta-1)+n^{2}(\sin \theta+1)=0 \), जहाँ \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\), तो \(\left(m^{2}+n^{2}\right)\cos \theta-\left(m^{2}-n^{2}\right)\cot \theta\) किसके बराबर है?

यदि \( \sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} \), जहाँ \( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \), तो \( \sin^{3}\alpha-\cos^{3}\alpha \) किसके बराबर होगा?

\( (1+\cot \alpha-\operatorname{cosec} \alpha)(1+\tan \alpha+\sec \alpha) \) का मान क्या है?

यदि \( \tan \theta=\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} \), जहाँ \( \theta \) और \( \alpha \left(\alpha \neq \frac{\pi}{4}\right) \) तीव्र कोण हैं, तो \( \sqrt{2} \sin \theta \) किसके बराबर होगा?

कितने मानों के लिए \( \alpha \), अभिव्यक्ति \( (\sin \alpha+2)(\sin \alpha+4)(\sin \alpha-2)(\sin \alpha-4) \) शून्य हो जाती है?

\(x\) का मान क्या है, जहाँ \(0 \leq x < 30^{\circ}\), ताकि \(\tan 3x \tan 6x = 1\) को संतुष्ट करता हो?

क्या है
\[
\frac{(a-b)^{2}}{(b-c)(c-a)} + \frac{(b-c)^{2}}{(c-a)(a-b)} + \frac{(c-a)^{2}}{(a-b)(b-c)} - 3
\] के बराबर, जहाँ \( a \neq b \neq c \)?

दिया गया है कि \( \frac{100 \times 99 \times 98 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1}{100^{\mathrm{n}}} \) एक पूर्णांक है। वह सबसे बड़ा \( n \) का मान क्या होगा जिसके लिए यह सत्य है?

एक व्यक्ति स्थान P से शुरू करके पूर्व दिशा में \(x \,\text{मीटर}\) गया \((x > 120 \,\text{m})\), फिर दक्षिण की ओर मुड़ा। वह सीधे 40 मीटर गया और फिर पश्चिम की ओर मुड़ा। वह 60 मीटर चलकर स्थान Q पर पहुँचा। Q से वह 200 मीटर उत्तर की ओर जाकर स्थान R पर पहुँचा। यदि \(PR = 200 \,\text{m}\) है, तो \(x\) का मान क्या होगा?

यदि \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \), जहाँ \( x, y \) और \( z \) पूर्णांक हैं, तो \( x y+y z+z x \) के कितने मान हो सकते हैं?

यदि \( x, y, z \) वास्तविक संख्याएँ हैं, ऐसी कि \( x+y+z=10 \) और \( x y+y z+z x=18 \), तो \( x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z \) का मान क्या है?

\( \sqrt{17-4 \sqrt{15}}+\sqrt{8-2 \sqrt{15}} \) का मान क्या है?

संख्याओं \( 36, 33, 30, 27, 24, \ldots \) के योग का अधिकतम मान क्या है?

दो प्राकृतिक संख्याएँ \( m \) और \( n \) हैं \((m > n)\)। जब \( m \) को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 4 होता है। जब \( n \) को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 6 होता है। निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं? I. जब \( m + n \) को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 10 होता है। II. जब \( m - n \) को 12 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 10 होता है।

यदि \( (x+y):(y+z):(z+x)=3:5:6 \) और \( x+y+z=14 \), तो \( x^2+y^2+z^2 \) का मान क्या होगा?

दो संख्याओं के योग और उनके अंतर का अनुपात \( 5: 1 \) है। उनके वर्गों के योग और वर्गों के अंतर का अनुपात क्या होगा?

अपनी सामान्य गति के \( 3 / 5^{\text{th}} \) पर यात्रा करते हुए, एक व्यक्ति 20 मिनट देर से पहुँचता है। यदि वह अपनी सामान्य गति से यात्रा करे तो उसका सामान्य समय क्या होगा?

जब \( 2^{\mathrm{p}}-1 \) को \( p \) से विभाजित किया जाता है, जहाँ \( p>5 \) एक अभाज्य संख्या है, तो शेषफल क्या होगा?

\( 24^{3}-16^{3}-8^{3} \) के गुणकों की संख्या कितनी है?

किसी धनराशि को \(20\%\) चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक चक्रवृद्धि) पर लगाने पर वह धनराशि कितने न्यूनतम पूर्ण वर्षों में दुगुने से अधिक हो जाएगी?

एक निश्चित लंबाई की एक ट्रेन को लंबाई \( x \) वाले एक स्टेशन को पूरी तरह पार करने में \( t \) समय लगता है। वही ट्रेन समान गति से लंबाई \( y \) वाले दूसरे स्टेशन को पूरी तरह पार करने में \( 2t \) समय लेती है। ट्रेन को लंबाई \( x + y \) वाले स्टेशन को पूरी तरह पार करने में कितना समय लगेगा?